x mit x zu multiplizieren ist das Gleiche, wie x-mal die Zahl x zu addieren. Denn 3*3 ist 3+3+3 und 4*4 ist 4+4+4+4. Um die Multiplikation mit der allgemeinen Addition und der Subtraktion von 1 zu beschreiben, verwenden wir wieder so einen Trick: x*x ist das Gleiche wie x+(x-1)*x. Und das ist das Gleiche wie x+x+(x-1-1)*x. Aha! Das wiederum ist das Gleiche wie x+x+x+(x-1-1-1)*x. Und so weiter bis der Wert in der Klammer null ist. So haben wir jetzt die Quadratfunktion mithilfe der Subtraktion von 1 und der allgemeinen Addition definiert.

In diesem Fall müssen wir uns ein Zwischenergebnis merken, das wir jeweils als z abspeichern. Am Anfang setzen wir z auf den Wert 0. Betrachten wir jetzt das Beispiel 3²:

1. Das ist das Gleiche wie 3*3, was das Gleiche ist wie 3+(3-1)*3. Der linke Teil der Summe ist unser Zwischenergebnis.
2. Wir addieren also diese linke 3 zu z, das ja ursprünglich 0 ist, und speichern das Ergebnis 3+0 in z.
3. Dann machen wir weiter: z+2*3 ist das Gleiche wie z+3+(2-1)*3, also z+3+1*3.
4. Wir addieren die linke 3 zum Zwischenergebnis z und schreiben den Wert z=3+3=6 in den Speicher für z.
5. z+1*3 ist dann das Gleiche wie z+3+(1-1)*3, was das Gleiche ist wie z+3+0*3.
6. Wir addieren die linke 3 zum Zwischenergebnis z, das nun den Wert z=6+3=9 hat.
7. 0*3 ist 0, also können wir aufhören.
8. Das Zwischenergebnis z hat sich in jedem Schritt geändert, und dessen letzter Wert ist 9. Stimmt!

Weil wir in jedem Schritt den Wert von x zum Zwischenergebnis z addieren müssen, können wir x nicht wie im Fall der Summe in jedem Schritt ändern. Stattdessen benötigen wir ein zweites Zwischenergebnis v, das hintereinander den Wert von x, x-1, x-2, …, 0 speichert.

Programm „Quadrat“.
Eingabe: eine Zahl x
Ausgabe: x zum Quadrat, also x*x
Speichere 0 im Zwischenergebnis z
Speichere x im Zwischenergebnis v
Wiederhole, solange v ungleich 0 ist:

1. Addiere x zu z und speichere das Ergebnis z+x in z
2. Subtrahiere 1 von v und speichere das Ergebnis v-1 in v

Gib z aus

Als Code:
quadrat(x){

z ← 0;
v ← x;
while (v≠0) {

z ← z+x;
v ← v-1;

}
output z;

}

Simulieren wir für die Eingabe x=3 den Computer, der das Programm ausführt:

1. Zuerst wird z auf 0 gesetzt und v auf den Wert von x, also 3.
2. Weil 3≠0 ist, wird z auf 0+3=3 gesetzt und v auf 3-1=2.
3. Weil 2≠0 ist, wiederholen wir das: z wird zu 3+3=6 und v zu 2-1=1.
4. Wiederum ist 1≠0, also wiederholen wir die Schritte erneut: z wird zu 6+3=9 und v zu 1-1=0.
5. Jetzt ist die Wiederholung beendet, denn 0≠0 gilt nicht, und es wird z=9 ausgegeben.

So einfach funktionieren Programme. Auf dieselbe Art und Weise werden E-Mail-Programme, Suchmaschinen, Steuergeräte in Autos und in Bäckereien programmiert. Wirklich!

Falls Sie sich wundern sollten: Wir haben in unsere Programme bewusst einen kleinen Fehler eingebaut, den wir hinterher finden werden.

Wenn unsere Programmiersprache das Additionssymbol + nicht kennt, können wir es einfach durch unser Summenprogramm oben ersetzen (Änderung in Blau) und erhalten ein neues Programm quadrat2:

quadrat2(x) {

z ← 0;
v ← x;
while (v≠0) {

z ← summe(z,x);

v ← v-1;

}
output z;

}

Die Verwendung von vorher erstellten Programmen in einem neuen Programm ist ein ungeheuer mächtiges Prinzip, das man erst in den Sechzigerjahren entdeckt hat. Es ist deswegen so mächtig, weil es uns einerseits erlaubt, Probleme in kleinere Probleme zu zerlegen, unabhängig voneinander zu lösen und dann die Lösungen zusammenzusetzen. Es hilft uns also unter anderem bei der Organisation unserer Programmierarbeit.

Andererseits erlaubt dieses Prinzip es auch, einmal erstellte Funktionalität anderen Programmiererinnen und Programmierern zur Verfügung zu stellen. Informatiker nennen solche Programmpakete, die anderen zur Nutzung in deren eigenen Programmen zur Verfügung gestellt werden, Bibliotheken, die wir oben mit Backbüchern verglichen haben. Vielleicht haben Sie schon einmal von der Programmiersprache Java gehört, oder von einer Sprache namens Python? Diese Sprachen werden unter anderem deswegen von sehr vielen Programmierern auf der ganzen Welt genutzt, weil sie riesige Bibliotheken für alle möglichen Funktionalitäten zur Verfügung stellen, unter anderem um Daten ins Internet zu schicken, Maschinenlernen zu verwenden oder natürlichsprachigen Text zu analysieren. Programmierer müssen diese Funktionalitäten dann nicht selbst erstellen, sondern können direkt von der Arbeit anderer profitieren, indem sie die entsprechenden Programme wiederverwenden.

Wenn Sie genau aufgepasst haben, werden Sie bemerken, dass wir zwei Konzepte für dieselbe Idee eingeführt haben. Oben hieß es, dass sich Programmiersprachen darin unterscheiden, wie sie „bestimmte Sachverhalte“ oder „technische Schritte“ ausdrücken, und dass manche Sprachen eher geeignet sind, über „Fenster“, „Knopf“ und „Mauszeiger“ zu sprechen, und andere über „Entfernung zum voranfahrenden Auto“. Hier sagen wir jetzt, dass „bestimmte Sachverhalte“ in Programmen erfasst werden, also für Probleme Lösungen programmiert werden, die dann in Bibliotheken zur Wiederverwendung zur Verfügung stehen. Ihre Beobachtung ist richtig. Das ist in der Tat zweimal dieselbe Idee in unterschiedlichen Ausprägungen: Wiederkehrende Konstruktionen sollen möglichst einfach verwendet werden können. Das zugrundeliegende Prinzip nennen Informatiker Abstraktion.

Vielleicht haben Sie das Wort Compiler schon einmal gehört: Compiler erledigen genau diese Übersetzung in Maschinensprache. Die Idee ist ganz ähnlich zur Verwendung des summe-Programms im quadrat2-Programm in der Zeile z ← summe(z,x). Vielleicht erinnern Sie sich an die Bemerkung zur prinzipiellen Ähnlichkeit von Bibliotheken und unterschiedlichen Programmiersprachen. Die Verwendung des Worts summe steht ja für die Codezeilen, die das summe-Programm implementieren. In Wahrheit funktioniert es ein kleines bisschen anders, aber man kann sich das so vorstellen, dass das Wort summe im quadrat2-Programm in genau die Codezeilen übersetzt wird, die dem summe-Programm entsprechen. Und ganz genauso stehen die Wiederholungsanweisung while, die Zuweisung ←, Addition und Subtraktion von 1 sowie die Ausgabefunktion output für kleine eigenständige Programme in Maschinensprache, in die sie tatsächlich auch übersetzt werden.

Dass man mit Einsen und Nullen beliebige Zahlen darstellen kann, ist seit dem 17. Jahrhundert bekannt. Uns führt das hier zu weit, aber die Idee können wir kurz verstehen. Stellen Sie sich das so vor: Wir Menschen benutzen zur Darstellung von Zahlen zehn Ziffern, nämlich 0, 1, 2, …, 9. Wenn wir die Zehn darstellen wollen, benötigen wir mehr als eine Ziffer: 1 und 0, also 10. Elf ist 1 und 1, also 11. Neunundneunzig ist 9 und 9, also 99. Wenn wir die Hundert darstellen wollen, benötigen wir drei Ziffern: 1 und 0 und 0, also 100. Und so weiter. Wenn wir nur Nullen und Einsen zur Verfügung haben, können wir dasselbe Prinzip verwenden: So wie wir Menschen eine Zehn nicht mit nur einer Ziffer darstellen können, können Computer eine Zwei nicht mit nur einer Ziffer darstellen. Also wird eine zweite Ziffer hinzugefügt, und 2 wird dargestellt als 1 und 0, also 10. 3 stellen wir als 1 und 1 dar, also 11. Für die Vier benötigen wir eine weitere Ziffer, so wie wir für die Hundert eine weitere benötigt haben: Vier wird als 1 und 0 und 0 geschrieben, also 100. Und so weiter. Die Zehn wird übrigens als 1010 dargestellt, die Hundert als 1100100.

Erlauben Sie mir noch drei Bemerkungen zum Schluss dieses Teils. Ich finde sie wichtig, aber wenn beim ersten Lesen dieses Abschnitts nicht alles klar wird, werden Sie den Rest trotzdem verstehen können.

1. Die Menge aller Zwischenergebnisse zu einem bestimmten Zeitpunkt nennt man den Zustand eines Programms. Der Zustand wird während der Programmausführung im Speicher abgelegt. Jeder Schritt der Programmausführung verändert diesen Zustand, weil Zwischenergebnisse und in unserem Beispiel auch die Werte der Eingaben verändert werden. Oft gibt es sehr viele solcher möglichen Zustände. Deren große Anzahl macht es schwierig, Programme zu schreiben und zu verstehen. Es ist also nicht nur die Anzahl der Schritte, die ein Programm komplex werden lässt (die Software in einem Auto besteht heute aus Hunderten von Millionen Zeilen Code), sondern eben auch die Anzahl der möglichen Zustände.
2. Oben haben wir erläutert, dass Programmiersprachen sich unter anderem darin unterscheiden, wie sie bestimmte Sachverhalte in einem bestimmten Kontext besonders kurz und knapp ausdrücken können: Wir haben über „Fenster“ und „Knöpfe“ gesprochen und angedeutet, dass die Ansteuerung von Maschinen mit speziellen Programmiersprachen erfolgt, die das besonders gut ausdrücken können. In unseren Programmen oben haben wir drei solcher Sachverhalte einfach so verwendet, ohne das näher zu erklären, weil sie so natürlich sind: (1) das Ablegen von Werten oder Zwischenergebnissen im Speicher, das man deswegen auch speichern nennt – das sind die Zeilen mit dem Linkspfeil; (2) die Ausführung einer Zeile nach der nächsten – das wird durch das Semikolon am Ende signalisiert; und (3) die Wiederholung – die while-Anweisung, die wir schon erklärt haben. Ich finde das nach wie vor wirklich sehr verblüffend: Seit den 1960ern ist bekannt, dass alle Funktionen, die man überhaupt berechnen kann, sich mit diesen drei Sachverhalten zuzüglich Addition und Subtraktion programmieren lassen. Alle!Warum dann der eigenartige Einschub zu Funktionen, die man überhaupt berechnen kann? Verrückterweise gibt es auch Funktionen, die man nicht berechnen kann, was kaum vorstellbar ist! Ein berühmtes Beispiel ist eine Funktion F, die als Eingabe ein Programm P erhält und für jedes „Eingabeprogramm“ P ausrechnen soll, ob dieses Programm P für jede Eingabe E irgendwann mit seiner Berechnung fertig wird oder ob es passieren kann, dass das Programm unendlich lange abläuft. Wir werden gleich sehen, dass das für unsere Beispiele der Quadrat- und Summenprogramme oben im Fall der Eingabe negativer Zahlen der Fall ist. Eine solche Funktion F, die für alle Programme P und alle Eingaben E ausrechnet, ob die Berechnung irgendwann aufhört, sieht also so aus: F(P)= „ja“, falls P(E) für alle Eingaben E irgendwann fertig wird, und andernfalls „nein“. Für eine solche Funktion gibt es kein Programm! Man weiß das seit den 1930ern, aber darum wollen wir uns hier nicht weiter kümmern.
3. Vielleicht ist Ihnen aufgefallen, dass wir im gesamten Text ganz intuitiv für Maschinen Tätigkeitswörter verwendet haben, die man eigentlich eher bei Menschen oder allgemein Lebewesen sehen würde: „auf einen Reiz reagieren“, „interagieren“, „kommunizieren“, „erkennen“, „berechnen“, „lernen“ und so weiter. Philosophen haben viel darüber nachgedacht. Brisant wird das, wenn man annimmt oder sprachlich suggeriert, dass Maschinen über Sachverhalte „entscheiden“ und gegebenenfalls sogar „verantwortlich“ oder „haftbar“ sein können. Mit Ausnahme von Verantwortlichkeit und Haftung finde ich diese sprachliche Vermenschlichung eingängig und völlig in Ordnung. Verheimlichen will ich aber nicht, dass es Denkschulen im Zusammenhang mit dem sogenannten Transhumanismus gibt, die Maschinen irgendwann echte Intelligenz oder sogar Emotionen oder Verantwortung zuerkennen. Ich für meinen Teil halte das, kurz gesagt, für abwegig.